martes, 18 de noviembre de 2014

El logaritmo natural en integración[editar]

El logaritmo natural permite la integración sencilla de las funciones de la forma g(x) = f '(x)/f(x): una primitiva g(x) viene dada por ln(|f(x)|). Esto es debido a la regla de la cadena y también a lo siguiente:
\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.
En otras palabras,
\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C
También se puede ver de esta manera,
\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.
Ahora bien; véase el siguiente ejemplo g(x) = tan(x):
\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx
\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.
Tomando f(x) = cos(x) y f'(x)= – sin(x):
\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C
\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C
donde C es una constante arbitraria de integración.
El logaritmo natural puede ser integrado utilizando el método de integración por partes. Los detalles se dejan al lector.
\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.
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